[42Seoul/fract'ol] 프랙탈(fractal)이란 ?

프랙탈[fractal]

수학, 기하학 연구 분야 중 하나로 부분의 모양이 전체 모양을 갖는 자기 유사성을 가지며 이런 과정이 한없이 반복될 때 프랙탈이라고 합니다.

프랑스의 수학자 망델브로가 1967년 영국을 둘러싸고 있는 해안선의 총길이를 측정할 때 사용하는 자에 따라 길이가 달라지며 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 되는 것이다. 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 프랙탈이라고 부리기 시작했습니다.

프랙탈 용어는 분열, 파편을 의미하는 fracture, fraction에 힌트를 얻어 fractal이라는 용어를 만들었습니다. 또한 프랙탈 차원은 2차원 3차원과 같은 정수가 아닌 분수라는 의미와도 연결이 됩니다. 

번개, 브로콜리, 폐 등에서도 프랙탈을 확인할 수 있어 자연의 기하학이라고 합니다. 

 

망델브로 집합 (Mandelbrot set)

수열[Zn]의 절댓값이 무한대로 발산하지 않는 복소수 c의 집합으로 정의됩니다.

$$z_0 = 0 (단, z_n은 복소수)$$

$$z_{n+1} = z_n^2+c$$

 

쥘리아 집합 (Julia set)

복소수 c에 대해서 다음 점화식에 따라 정의된 수열이 발산하지 않는 성질을 갖도록 하는 복소수 z의 집합으로 정의됩니다.

$$z_{n+1} = z_n^2 + c$$

만델브로 집합의 점화식과 같지만, 만델브로 집합은 \(z_0 = 0+0_i\)일 때 z를 발산하지 않게 하는 c의 집합이라는 점이 다릅니다. 즉, 망델브로 집합과 쥘리아 집합은 z와 c의 역할이 뒤바뀐 것입니다. 또한 쥘리아 집합은 망델브로 집합과 동일하게 자기 유사성을 가지며 가까운 두 점이 서로 다른 양상을 보이는 초기 조건의 민감성도 가집니다.